曲线运动中极坐标系的应用

曲线运动
2015-03-13 15:13

如图所示,两人分别持杆的A、B两端,B端人的运动方向始终与杆成固定夹角,A端人运动始终沿杆方向,求A、B两端的运动轨迹。

Alt 图1

设AB杆长 , B点速度大小为, 速度正方向与AB方向夹角为

将B点速度按照沿着杆的方向和垂直于杆的方向分解

Alt 图2

A点沿杆方向的速度和B点沿杆方向的分速度相等。

设想自己在A点观察B的运动,将观察到B点以角速度 绕A点作匀速圆周运动,这个现象与A点在哪里是无关的。

也就是说,无论A点在哪里。 想象有一条射线开始与AB杆平行,之后围绕射线端点,以相同的角速度与AB杆同时开始转动,那么该射线与AB杆应始终保持平行。

以射线的端点作为极坐标系的原点, 可以用形如 的函数来描述A、B点的空间位置。

对于A点有

代入有

gnuplot 作图,可得两条阿基米德螺线。

Alt 图3

1
2
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5
6
7
8
9
10
11
    set size square 1,1 
    set dummy t 
    set polar
    set grid polar pi/6
    set angles radian
    set trange[0:2*pi]
    A(t)=a*t
    B(t)=a*t+b
    a=1.73
    b=1
    plot A(t) linewidth 3 ,B(t) linewidth 3
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曲线运动中极坐标系的应用

曲线运动
2015-03-13 15:13

如图所示,两人分别持杆的A、B两端,B端人的运动方向始终与杆成固定夹角,A端人运动始终沿杆方向,求A、B两端的运动轨迹。

Alt 图1

设AB杆长 , B点速度大小为, 速度正方向与AB方向夹角为

将B点速度按照沿着杆的方向和垂直于杆的方向分解

Alt 图2

A点沿杆方向的速度和B点沿杆方向的分速度相等。

设想自己在A点观察B的运动,将观察到B点以角速度 绕A点作匀速圆周运动,这个现象与A点在哪里是无关的。

也就是说,无论A点在哪里。 想象有一条射线开始与AB杆平行,之后围绕射线端点,以相同的角速度与AB杆同时开始转动,那么该射线与AB杆应始终保持平行。

以射线的端点作为极坐标系的原点, 可以用形如 的函数来描述A、B点的空间位置。

对于A点有

代入有

gnuplot 作图,可得两条阿基米德螺线。

Alt 图3

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    set size square 1,1 
    set dummy t 
    set polar
    set grid polar pi/6
    set angles radian
    set trange[0:2*pi]
    A(t)=a*t
    B(t)=a*t+b
    a=1.73
    b=1
    plot A(t) linewidth 3 ,B(t) linewidth 3
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曲线运动中极坐标系的应用

曲线运动
2015-03-13 15:13

如图所示,两人分别持杆的A、B两端,B端人的运动方向始终与杆成固定夹角,A端人运动始终沿杆方向,求A、B两端的运动轨迹。

Alt 图1

设AB杆长 , B点速度大小为, 速度正方向与AB方向夹角为

将B点速度按照沿着杆的方向和垂直于杆的方向分解

Alt 图2

A点沿杆方向的速度和B点沿杆方向的分速度相等。

设想自己在A点观察B的运动,将观察到B点以角速度 绕A点作匀速圆周运动,这个现象与A点在哪里是无关的。

也就是说,无论A点在哪里。 想象有一条射线开始与AB杆平行,之后围绕射线端点,以相同的角速度与AB杆同时开始转动,那么该射线与AB杆应始终保持平行。

以射线的端点作为极坐标系的原点, 可以用形如 的函数来描述A、B点的空间位置。

对于A点有

代入有

gnuplot 作图,可得两条阿基米德螺线。

Alt 图3

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    set size square 1,1 
    set dummy t 
    set polar
    set grid polar pi/6
    set angles radian
    set trange[0:2*pi]
    A(t)=a*t
    B(t)=a*t+b
    a=1.73
    b=1
    plot A(t) linewidth 3 ,B(t) linewidth 3
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