如何处理竖直面内的圆周运动

曲线运动
2014-02-08 10:24

目录

1. 问题

质量为的小钢珠1以初速度 沿光滑水平面射入半径为的竖直光滑圆轨道,试讨论钢珠在轨道内各点的运动状况。

Alt 图1

2. 轨道上某点受力分析

2.1 最低点

小球在最低点A时,受力如图所示。

Alt 图2

向心力

联立,有

可知,小球在最低点处于超重状态。

2.2 最高点

小球在最高点B时,若受轨道的作用力,受力如图所示。

Alt 图3

向心力

联立,有

可知,小球在最高点处于失重状态。

若轨道对小球恰好无作用力,有

可得小球恰好通过最高点的临界速度

2.3 下半段某处

设小球在轨道下半段某点C

Alt 图4

由圆周运动和机械能守恒,可得

轨道对小球的作用力2大小

2.4 离开轨道的位置

小球只会在轨道的上半段某处离开轨道,对于上半段某处,上式依然成立(想想为什么?)

离开轨道的瞬间,

因此小球离开轨道的位置为

小球要进入轨道上半段

3 实例检验

3.1 实例1

时, ,小球在轨道中点离开上半部分轨道。

3.2 实例2

小球到达最高点的动能

对应的速度

是恰好通过最高点的临界速度。

注释

  1. 可视为质点,不考虑转动惯量。 

  2. 此过程中支持力 是变力,虽然表示字母相同,但代表的力方向和大小不同 

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如何处理竖直面内的圆周运动

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1. 问题

质量为的小钢珠1以初速度 沿光滑水平面射入半径为的竖直光滑圆轨道,试讨论钢珠在轨道内各点的运动状况。

Alt 图1

2. 轨道上某点受力分析

2.1 最低点

小球在最低点A时,受力如图所示。

Alt 图2

向心力

联立,有

可知,小球在最低点处于超重状态。

2.2 最高点

小球在最高点B时,若受轨道的作用力,受力如图所示。

Alt 图3

向心力

联立,有

可知,小球在最高点处于失重状态。

若轨道对小球恰好无作用力,有

可得小球恰好通过最高点的临界速度

2.3 下半段某处

设小球在轨道下半段某点C

Alt 图4

由圆周运动和机械能守恒,可得

轨道对小球的作用力2大小

2.4 离开轨道的位置

小球只会在轨道的上半段某处离开轨道,对于上半段某处,上式依然成立(想想为什么?)

离开轨道的瞬间,

因此小球离开轨道的位置为

小球要进入轨道上半段

3 实例检验

3.1 实例1

时, ,小球在轨道中点离开上半部分轨道。

3.2 实例2

小球到达最高点的动能

对应的速度

是恰好通过最高点的临界速度。

注释

  1. 可视为质点,不考虑转动惯量。 

  2. 此过程中支持力 是变力,虽然表示字母相同,但代表的力方向和大小不同 

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质量为的小钢珠1以初速度 沿光滑水平面射入半径为的竖直光滑圆轨道,试讨论钢珠在轨道内各点的运动状况。

Alt 图1

2. 轨道上某点受力分析

2.1 最低点

小球在最低点A时,受力如图所示。

Alt 图2

向心力

联立,有

可知,小球在最低点处于超重状态。

2.2 最高点

小球在最高点B时,若受轨道的作用力,受力如图所示。

Alt 图3

向心力

联立,有

可知,小球在最高点处于失重状态。

若轨道对小球恰好无作用力,有

可得小球恰好通过最高点的临界速度

2.3 下半段某处

设小球在轨道下半段某点C

Alt 图4

由圆周运动和机械能守恒,可得

轨道对小球的作用力2大小

2.4 离开轨道的位置

小球只会在轨道的上半段某处离开轨道,对于上半段某处,上式依然成立(想想为什么?)

离开轨道的瞬间,

因此小球离开轨道的位置为

小球要进入轨道上半段

3 实例检验

3.1 实例1

时, ,小球在轨道中点离开上半部分轨道。

3.2 实例2

小球到达最高点的动能

对应的速度

是恰好通过最高点的临界速度。

注释

  1. 可视为质点,不考虑转动惯量。 

  2. 此过程中支持力 是变力,虽然表示字母相同,但代表的力方向和大小不同 

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