2010 新课标全国卷 25题

高考
2013-12-13 12:56

问题

如图所示,在 的范围内有垂直于 平面向外的匀强磁场,磁感应强度的大小为。坐标原点 处有一个粒子源,在某时刻发射大量质量为,电荷量为的带正电粒子,它们的速度大小相同,速度方向均在平面内,与轴正方向的夹角分布在范围内。已知粒子在磁场中做圆周的半径介于之间,从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

(1)速度的大小

(2)速度方向与轴正方向夹角的正弦。

Alt 图1

物理建模

首先需要将物理模型转换为数学模型,描绘出粒子运动的轨道,了解粒子是如何运动的?

通过审题,获得了以下关键信息

  1. 从原点…某时刻发射大量 … 带正电粒子
  2. (粒子的)速度大小相同
  3. 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一

从以上信息中,我们需要提炼出以下问题的相应答案。

  1. 研究对象是一批粒子还是一个粒子?(最后一个粒子)
  2. 这批粒子是同一时刻发射的吗?(是)
  3. 圆周运动周期的四分之一意味着什么?(圆心角为
  4. 最后离开磁场的粒子轨道长度和其他粒子比较有何特点?(最长)

由此我们找到了轨道的数学特点

  • 是一段圆弧,圆心角为

  • 矩形磁场中弧线应尽可能的长

进一步的,速度相同,圆弧半径相同。长弧对应长弦,因此找最长弧线就转化为了找最长弦的问题

Alt 图2

矩形磁场中的最长弦显然是对角线,但轨道会提前出磁场,因此弦要稍向下偏移一些,以使轨道与磁场边界相切。由此得到了轨道的第三个特点。

  • 轨道与磁场边界相切,弦略短于矩形磁场的对角线。

Alt 图3

得到如图所示的数学模型。

数学处理

设粒子与轴正方向夹角为,轨道半径为

现在问题变成了解两个未知量,需要找到两个含未知量的方程。经过寻找,有

方向:

方向:

为了将异名函数化成同名函数,先整理。

两边平方

整理得

代入求根公式,解得

后一解大于 ,舍去。第(2)问的解为 .

方向的列式易得

可解出第(1)问,

解题回顾

  • 通过审题及作轨迹图,分析力和运动,理解物理情境。
  • 化弧为弦,根据限制条件不断逼近正确的情境况,建立几何模型。
  • 善于从几何图像中寻找数学关系,建立已知——未知量的联系。
  • 熟悉如何联立方程解未知数
    • 消元,降次
    • 升次后要讨论解
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问题

如图所示,在 的范围内有垂直于 平面向外的匀强磁场,磁感应强度的大小为。坐标原点 处有一个粒子源,在某时刻发射大量质量为,电荷量为的带正电粒子,它们的速度大小相同,速度方向均在平面内,与轴正方向的夹角分布在范围内。已知粒子在磁场中做圆周的半径介于之间,从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

(1)速度的大小

(2)速度方向与轴正方向夹角的正弦。

Alt 图1

物理建模

首先需要将物理模型转换为数学模型,描绘出粒子运动的轨道,了解粒子是如何运动的?

通过审题,获得了以下关键信息

  1. 从原点…某时刻发射大量 … 带正电粒子
  2. (粒子的)速度大小相同
  3. 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一

从以上信息中,我们需要提炼出以下问题的相应答案。

  1. 研究对象是一批粒子还是一个粒子?(最后一个粒子)
  2. 这批粒子是同一时刻发射的吗?(是)
  3. 圆周运动周期的四分之一意味着什么?(圆心角为
  4. 最后离开磁场的粒子轨道长度和其他粒子比较有何特点?(最长)

由此我们找到了轨道的数学特点

  • 是一段圆弧,圆心角为

  • 矩形磁场中弧线应尽可能的长

进一步的,速度相同,圆弧半径相同。长弧对应长弦,因此找最长弧线就转化为了找最长弦的问题

Alt 图2

矩形磁场中的最长弦显然是对角线,但轨道会提前出磁场,因此弦要稍向下偏移一些,以使轨道与磁场边界相切。由此得到了轨道的第三个特点。

  • 轨道与磁场边界相切,弦略短于矩形磁场的对角线。

Alt 图3

得到如图所示的数学模型。

数学处理

设粒子与轴正方向夹角为,轨道半径为

现在问题变成了解两个未知量,需要找到两个含未知量的方程。经过寻找,有

方向:

方向:

为了将异名函数化成同名函数,先整理。

两边平方

整理得

代入求根公式,解得

后一解大于 ,舍去。第(2)问的解为 .

方向的列式易得

可解出第(1)问,

解题回顾

  • 通过审题及作轨迹图,分析力和运动,理解物理情境。
  • 化弧为弦,根据限制条件不断逼近正确的情境况,建立几何模型。
  • 善于从几何图像中寻找数学关系,建立已知——未知量的联系。
  • 熟悉如何联立方程解未知数
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如图所示,在 的范围内有垂直于 平面向外的匀强磁场,磁感应强度的大小为。坐标原点 处有一个粒子源,在某时刻发射大量质量为,电荷量为的带正电粒子,它们的速度大小相同,速度方向均在平面内,与轴正方向的夹角分布在范围内。已知粒子在磁场中做圆周的半径介于之间,从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

(1)速度的大小

(2)速度方向与轴正方向夹角的正弦。

Alt 图1

物理建模

首先需要将物理模型转换为数学模型,描绘出粒子运动的轨道,了解粒子是如何运动的?

通过审题,获得了以下关键信息

  1. 从原点…某时刻发射大量 … 带正电粒子
  2. (粒子的)速度大小相同
  3. 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一

从以上信息中,我们需要提炼出以下问题的相应答案。

  1. 研究对象是一批粒子还是一个粒子?(最后一个粒子)
  2. 这批粒子是同一时刻发射的吗?(是)
  3. 圆周运动周期的四分之一意味着什么?(圆心角为
  4. 最后离开磁场的粒子轨道长度和其他粒子比较有何特点?(最长)

由此我们找到了轨道的数学特点

  • 是一段圆弧,圆心角为

  • 矩形磁场中弧线应尽可能的长

进一步的,速度相同,圆弧半径相同。长弧对应长弦,因此找最长弧线就转化为了找最长弦的问题

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矩形磁场中的最长弦显然是对角线,但轨道会提前出磁场,因此弦要稍向下偏移一些,以使轨道与磁场边界相切。由此得到了轨道的第三个特点。

  • 轨道与磁场边界相切,弦略短于矩形磁场的对角线。

Alt 图3

得到如图所示的数学模型。

数学处理

设粒子与轴正方向夹角为,轨道半径为

现在问题变成了解两个未知量,需要找到两个含未知量的方程。经过寻找,有

方向:

方向:

为了将异名函数化成同名函数,先整理。

两边平方

整理得

代入求根公式,解得

后一解大于 ,舍去。第(2)问的解为 .

方向的列式易得

可解出第(1)问,

解题回顾

  • 通过审题及作轨迹图,分析力和运动,理解物理情境。
  • 化弧为弦,根据限制条件不断逼近正确的情境况,建立几何模型。
  • 善于从几何图像中寻找数学关系,建立已知——未知量的联系。
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